Изучение геометрии на уроках математики в 5-6 классах

Из прямоугольника 10х7 клеток вырезали прямоугольник 1х6. как показано на рисунке. Разрежьте полученную фигуру на две части так, чтоб из их можно было сложить квадрат.

Из прямоугольника 8х9 клеток вырезали закрашенные фигуры, как показано на рисунке. Разрежьте полученную фигуру на две равные части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник 6х10.

На клетчатой бумаге нарисован квадрат размером 5х5 клеток. Покажите, как разрезать его по сторонам клеток на 7 различных прямоугольников.

Разрежьте квадрат 13х13 на 5 прямоугольников по сторонам клеток так, чтобы все десять чисел, выражающих длины сторон прямоугольников, были различными целыми числами.

Разделите фигуры, изображенные на рисунке, на две части. (Разрезать можно не только по линиям клеток, но и по их диагоналям.)

Разрежьте фигуры, изображенные на рисунке, на четыре равные части.

2.4 Задачи на разрезание треугольника

Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками, китайцами, но первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абул-Вефа, знаменитого персидского астронома Х века, жившего в Багдаде. Геометры всерьез занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее составление из них той или иной новой фигуры лишь в начале ХХ века. Одним из основоположников этого увлекательного раздела геометрии был знаменитый составитель головоломок Генри Э. Дьюдени.

В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берется за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. Поскольку здесь не требуется глубокое знание геометрии, то любители иногда могут даже превзойти профессионалов-математиков.

Вместе с тем, задачи на разрезание не являются несерьезными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьезных математических задач.

Задачи на разрезание помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

Можно ли провести разрез произвольного треугольника так, чтобы получить два треугольника?

Можно ли провести разрез треугольника так, чтобы получить три треугольника?

Можно ли провести два разреза треугольника, чтобы получить три треугольника?

Можно ли проведением двух разрезов треугольника получить четыре треугольника?

Можно ли провести два разреза треугольника так, чтобы получить пять треугольников?

Как нужно провести два разреза треугольника, чтобы получить шесть треугольников?

Можно ли двумя разрезами разбить треугольник на семь треугольников?

READ  Как разрядить ni cd аккумулятор шуруповерта

Можно ли двумя разрезами разбить треугольник на восемь треугольников?

Какое количество треугольников можно получить при проведении трех разрезов данного треугольника?

Сколько треугольников изображено на рисунке? Назовите их.

Сколько углов вы видите на рисунке? Назовите их.

Сосчитайте сколько треугольников изображено на рисунке?

Задание 6 ЕГЭ по математике. Урок 24

Цепочка задач построена таким образом, что при переходе к каждой последующей фигуре увеличивается число искомых треугольников (принцип нарушается при переходе от случая «в» к случаю «г», но в случае «г» усложняется «геометрический фон», т.е. появляются такие взаимопроникающие треугольники, которые состоят, например, из треугольника и четырехугольника, а в случае «в» все взаимопроникающие треугольники можно рассматривать состоящими только из треугольников).

Задание 16 ЕГЭ по математике #6

1) Если учащийся увидел большой треугольник, состоящий из двух маленьких, т.е. всего три треугольника, то он получает 1 балл.

2) Если учащийся не видит какой-либо из трех треугольников, то он получает 0 баллов.

Задача 6 7923 ЕГЭ по математике. Урок 140

На данном рисунке изображен большой треугольник, состоящий из трех маленьких, всего четыре треугольника. Такое решение оценивается в 1 балл.

Сосчитаем все маленькие треугольники, их всего шесть

Сосчитаем треугольники, состоящие из двух маленьких, их всего три

Сосчитаем треугольники, состоящие из трех маленьких, их всего шесть

Треугольник, состоящий из шести маленьких треугольников – 2

1) Учащиеся сосчитали (увидели) все взаимопроникающие треугольники, подсчет вели с помощью алгоритма – 2 балла.

2) Задача решалась без применения алгоритма (какие треугольники учащийся увидел, такие и сосчитал, но нашел больше семи треугольников – 1 балл).

3) Учащийся при решении насчитал меньше семи треугольников, т.е. не увидел взаимопроникающих треугольников. оценка 0 баллов.

1) Сосчитаем треугольники в «нижней» части рисунка, их всего шесть, причем все они состоят только из треугольников.

2) Добавляем «верхнюю» часть, получаем треугольники, состоящие из треугольников и четырехугольника.

Всего получилось: (321)(321)=12 треугольников.

1) Учащийся подсчитал все треугольники с помощью алгоритма (выбор алгоритма значения не имеет) – оценка 3 балла.

2) Учащийся применил для решения алгоритм, не позволяющий выделить все имеющиеся на рисунке треугольники – оценка 2 балла.

3) Учащиеся, не увидевшие взаимопроникающих треугольников, получают 1 балл.

4) Учащиеся, увидевшие на рисунке меньше семи треугольников, получают 0 баллов.

Сосчитайте число треугольников, изображенных на рисунке.

Разрежьте правильно на части

Как данный прямоугольник следует разрезать на две такие части, чтобы из них можно было сложить: 1) треугольник, 2) параллелограмм (отличный от прямоугольника), 3) трапецию?

Дан прямоугольник, основание которого в два раза больше высоты. 1) Как нужно разрезать данный прямоугольник на две части, чтобы из них можно было составить равнобедренный треугольник? 2) Как нужно разрезать данный прямоугольник на три части, из которых можно было бы составить квадрат?

Как можно равносторонний треугольник разрезать на: 1) два равных треугольника; 2) три равных треугольника; 3) четыре равных треугольника; 4) шесть равных треугольников; 5) восемь; 6) двенадцать?

READ  Чем культиватор торнадика отличается от торнадо

Даны два равных квадрата. Как разрезать каждый из них на две части так, чтобы из получившихся частей можно было сложить квадрат?

Как данный прямоугольник двумя прямолинейными разрезами разбить на два равных пятиугольника и два равных прямоугольных треугольника?

Даны два неравных квадрата. Как их следует разрезать на такие части, чтобы из них можно было сложить третий квадрат? Как выражается длина стороны третьего квадрата через длины сторон двух данных?

Прямоугольная плитка шоколада состоит из mn единичных квадратных долек. Сколько разломов нужно сделать (одновременно ломается один кусок), чтобы разломить эту плитку на единичные квадратные дольки?

Сколько нужно сделать разрезов плоскостями так, чтобы из куба с ребром в 3 дм получить кубики с ребром в 1 дм?

Дан прямоугольный треугольник. Как следует разрезать его на две такие части, чтобы из них (не переворачивая обратной стороной) можно было сложить треугольник, симметричный данному относительно одного из его катетов?

Дан треугольник ABC. Как следует разрезать его на части так, чтобы из них (не переворачивая обратной стороной) можно было сложить треугольник, симметричный данному относительно основания АС?

Разрежьте квадрат на части, как показано на рисунке 49, перемешайте их и затем сложите: 1) такой же квадрат; 2) прямоугольный равнобедренный треугольник; 3) прямоугольник, отличный от квадрата; 4) параллелограмм, отличный от прямоугольника; 5) трапецию.

Окрашенный куб с ребром в 10 см распилили на кубики с ромбом в 1 см. Сколько получится кубиков: 1) с одной окрашенной гранью; 2) с двумя; 3) с тремя; 4) совсем не имеющих окрашенных граней?

Как разрезать на две части прямоугольник со сторонами 16 и 9 см так, чтобы из них можно было сложить квадрат? (Разрез может быть в виде ломаной косильной лески.)

Скопируйте каждую из фигур рисунка 50 и разрежьте ее на 4 равные части.

1) Как данный прямоугольный треугольник разрезать на остроугольные треугольники? 2) Как данный произвольный треугольник разрезать на остроугольные треугольники?

Внутри выпуклого стоугольника отмечены 10 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Многоугольник разрезается на треугольники так, что вершинами их служат все вершины данного стоугольника и все данные десять точек. Сколько получится треугольников?

Разрезать квадрат на 4 равнобедренных треугольника

Серёжа придумал фигуру, которую легко разрезать на две части и сложить из них квадрат (см. рис.).

Покажите как по-другому разрезать эту фигуру на две части, из которых тоже можно сложить квадрат.

Решение

Достаточность. Равнобедренный треугольник можно разрезать по медиане на два равных прямоугольных треугольника, а прямоугольный – по медиане, проведённой к гипотенузе, на два равнобедренных. Если каждый из них разрезать на два равных треугольника, получим четыре равных прямоугольных треугольника. Аналогично, превратим каждый из них в четыре меньших равных прямоугольных треугольника и т.д. Необходимость. Последнее разрезание на две части даст два равных треугольника, у которых есть смежные углы. Такой угол больше не смежных с ним углов другого треугольника, значит, он равен смежному, то есть прямой. Таким образом, в итоге исходный треугольник разбился на прямоугольные треугольники. Пусть их углы α, β = 90° – α и 90°, где α ≤ β. Если α = 45° или α = 30°, все углы исходного треугольника кратны α, и несложный перебор показывает, что возможны только наборы (45°, 45°, 90°), (30°, 60°, 90°), (30°, 30°, 120°), (60°, 60°, 60°), то есть треугольник прямоугольный или равнобедренный. Для остальных значений угла α список α, β, 2α, 90°, 2β не содержит равных углов, и парой смежных углов из списка могут быть либо (90°, 90°), либо (2α, 2β). Пусть в конце площадь каждой части равна 1, тогда площадь s исходного и любого из промежуточных треугольников – натуральное число. Докажем индукцией по s, что набор углов такого треугольника может быть одним из трёх типов: (α, β, 90°), (α, α, 2β) или (β, β, 2α). База (s = 1) уже доказана. Шаг индукции. Треугольник T с s 1 был разбит на две части меньшей площади. По предположению индукции наборы углов в частях принадлежат указанному списку и в них есть пара смежных углов. Если смежные углы прямые, то полученные части граничат по катету. Против этого катета могут лежать либо равные углы α, либо равные углы β, либо один α, а другой β. Во всех случаях треугольник T принадлежит к одному из указанных трёх типов. Если же смежные углы равны 2α и 2β, то треугольник T прямоугольный с углами (α, β, 90°).

READ  Как разрезать плитку под 45 градусов

Решение

Пример изображён на рис. (важно, что режем не по клеточкам).

Можно ли разрезать равносторонний треугольник на пять попарно различных равнобедренных треугольников.

Ответ

В центре квадратного пирога находится изюминка. От пирога можно отрезать треугольный кусок по косильной лески, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д. Можно ли отрезать изюминку?

Решение

Два возможных решения приведены на рисунке:

Ответ

Саша разрезал бумажный треугольник на два треугольника. Затем он каждую минуту резал на два треугольника один из полученных ранее треугольников. Через некоторое время, не меньшее часа, все полученные Сашей треугольники оказались равными. Укажите все исходные треугольники, для которых возможна такая ситуация.

Ответ

а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.